Die Einwohnerzahl in einer Stadt ist im Jahr 2000 auf 100.000 gestiegen. Bis zum Jahr 2015 hat sich die Einwohnerzahl alle 5 Jahre verdoppelt. Wie viele Einwohner hat die Stadt im Jahr 2025?
Lösung:
Zunächst müssen wir die Wachstumsrate pro Jahr berechnen. Da sich die Einwohnerzahl alle 5 Jahre verdoppelt, beträgt die Wachstumsrate pro Jahr:
r = 2^(1/5) – 1 = 0.1487 (gerundet auf 4 Nachkommastellen)
Nun können wir die Einwohnerzahl im Jahr 2025 berechnen:
N = N0 * (1 + r)^t
N0 = 100.000 (Einwohnerzahl im Jahr 2000)
t = 25 – 20 = 5 (Anzahl der Jahre von 2020 bis 2025)
Somit ergibt sich:
N = 100.000 * (1 + 0.1487)^5 = 281.215 (gerundet auf ganze Einwohner)
Die Stadt hat im Jahr 2025 voraussichtlich 281.215 Einwohner.
Übung 2: Zinseszins
Ein Anlagebetrag von 5.000€ wird zu einem Zinssatz von 3% pro Jahr angelegt. Wie hoch ist das Guthaben nach 10 Jahren, wenn der Zinseszins berücksichtigt wird?
Lösung:
Zunächst müssen wir die Wachstumsrate pro Jahr berechnen. Da es sich um Zinseszins handelt, müssen wir mit der Formel für exponentielles Wachstum arbeiten:
N = N0 * e^(rt)
N0 = 5.000€ (Anlagebetrag)
r = 0.03 (Zinssatz pro Jahr)
t = 10 (Anzahl der Jahre)
Somit ergibt sich:
N = 5.000€ * e^(0.03*10) = 6.853,77€ (gerundet auf 2 Nachkommastellen)
Das Guthaben beträgt nach 10 Jahren voraussichtlich 6.853,77€.
Erklärungen zu Exponentiellem Wachstum Klasse 10
Exponentielles Wachstum tritt auf, wenn eine Größe in einem bestimmten Zeitraum um einen bestimmten Prozentsatz wächst. Dieses Wachstum kann sehr schnell und stark sein, da es sich um ein sich selbst verstärkendes Phänomen handelt.
Die Formel für exponentielles Wachstum lautet:
N = N0 * (1 + r)^t
Dabei steht N für die Endgröße, N0 für die Anfangsgröße, r für die Wachstumsrate pro Zeitintervall und t für die Anzahl der Zeitintervalle.
Die Wachstumsrate r wird oft als Prozentsatz angegeben. Um diesen in eine Dezimalzahl umzuwandeln, muss man ihn durch 100 dividieren.
Beispiele für exponentielles Wachstum sind das Bevölkerungswachstum, das Wirtschaftswachstum oder das Wachstum von Bakterienkulturen.
Exponentielles Wachstum ist ein wichtiges Thema in der Mathematik der Klasse 10. In diesem Blogbeitrag werden wir uns mit Textaufgaben beschäftigen, die exponentielles Wachstum zum Thema haben.
Was ist exponentielles Wachstum?
Exponentielles Wachstum tritt auf, wenn eine Größe in jedem Schritt um einen bestimmten Prozentsatz wächst. Dabei nimmt das Wachstum immer schneller zu. Ein bekanntes Beispiel für exponentielles Wachstum ist die Vermehrung von Bakterien in einer Kultur.
Textaufgaben zum exponentiellen Wachstum
1. Eine Bakterienkultur enthält zu Beginn 100 Bakterien. Jede Stunde vermehren sich die Bakterien um 20%. Wie viele Bakterien sind nach 3 Stunden in der Kultur?
2. Eine Investition von 1000 Euro wächst jährlich um 5%. Wie hoch ist der Betrag nach 10 Jahren?
3. Der Wert eines Autos sinkt jährlich um 10%. Ein Auto kostet zu Beginn 20.000 Euro. Wie hoch ist der Restwert nach 5 Jahren?
Lösungen:
Nach einer Stunde sind es 100*1,2 = 120 Bakterien. Nach zwei Stunden sind es 120*1,2 = 144 Bakterien. Nach drei Stunden sind es 144*1,2 = 172,8 Bakterien. Also sind nach drei Stunden etwa 173 Bakterien in der Kultur.
Nach einem Jahr beträgt der Betrag 1000*1,05 = 1050 Euro. Nach zwei Jahren sind es 1050*1,05 = 1102,5 Euro. Nach 10 Jahren sind es 1000*1,05^10 = 1628,89 Euro.
Nach einem Jahr beträgt der Wert des Autos 20.000*0,9 = 18.000 Euro. Nach zwei Jahren sind es 18.000*0,9 = 16.200 Euro. Nach fünf Jahren sind es 20.000*0,9^5 = 12.167,41 Euro.
Textaufgaben zum exponentiellen Wachstum können in vielen Bereichen vorkommen, wie beispielsweise in der Biologie, der Finanzmathematik oder der Physik. Um diese Aufgaben zu lösen, ist es wichtig, den Prozentsatz des Wachstums zu kennen und diesen auf die Ausgangsgröße anzuwenden. Mit etwas Übung sollte es jedoch kein Problem sein, Textaufgaben zum exponentiellen Wachstum in der Klasse 10 zu lösen.
Wir hoffen, dass Ihnen dieser Blogbeitrag zum Thema „Textaufgaben Exponentielles Wachstum Klasse 10“ geholfen hat und wünschen Ihnen viel Erfolg bei der Lösung ähnlicher Aufgaben!
