Zeichne die Graphen der folgenden Potenzfunktionen:
$f(x) = 2^x$
$g(x) = 3^x$
Lösungen:
x
$f(x) = 2^x$
$g(x) = 3^x$
-2
0.25
0.1111
-1
0.5
0.3333
0
1
1
1
2
3
2
4
9
Die Graphen sehen wie folgt aus:
Erklärungen zu Potenzfunktionen Klasse 10
Eine Potenzfunktion hat die Form $f(x) = a^x$, wobei $a$ die Basis und $x$ der Exponent ist. Die Basis ist eine positive reelle Zahl und der Exponent kann jede reelle Zahl sein.
Die Graphen von Potenzfunktionen haben eine charakteristische Form, je nachdem ob die Basis größer oder kleiner als 1 ist. Wenn die Basis größer als 1 ist, steigt die Funktion exponentiell an. Wenn die Basis kleiner als 1 ist, fällt die Funktion exponentiell ab.
Potenzfunktionen können auch durch Potenzgesetze vereinfacht werden, wie in Übung 1 gezeigt.
In der 10. Klasse beschäftigen sich Schülerinnen und Schüler unter anderem mit Potenzfunktionen. Diese Funktionen haben die Form f(x) = x^n, wobei n eine natürliche Zahl ist. Doch wie lassen sich Potenzfunktionen in Textaufgaben anwenden?
Beispiel 1:
Ein Ballon steigt senkrecht nach oben. Die Höhe h, die er über der Erdoberfläche erreicht, lässt sich durch die Funktion h(t) = 3t² beschreiben, wobei t die Zeit in Sekunden seit dem Start des Ballons ist. Wie hoch ist der Ballon nach 5 Sekunden?
Um die Frage zu beantworten, müssen wir den Funktionswert h(5) berechnen. Dazu setzen wir t = 5 in die Funktion ein:
h(5) = 3 · 5² = 75 m
Der Ballon ist nach 5 Sekunden also 75 Meter hoch.
Beispiel 2:
Ein Bakterienkulturen wächst exponentiell. Die Anzahl der Bakterien lässt sich durch die Funktion N(t) = 100 · 2^t beschreiben, wobei t die Zeit in Stunden seit dem Beginn des Experiments ist. Nach wie vielen Stunden hat sich die Anzahl der Bakterien verdoppelt?
Um die Frage zu beantworten, müssen wir die Lösung der Gleichung N(t) = 200 finden. Wir setzen also N(t) = 100 · 2^t gleich 200 und lösen nach t auf:
100 · 2^t = 200 ⇔ 2^t = 2 ⇔ t = 1
Die Anzahl der Bakterien hat sich also nach einer Stunde verdoppelt.
Textaufgaben mit Potenzfunktionen können knifflig sein, erfordern jedoch nur das Anwenden der Funktionsregeln. Wichtig ist, dass die Schülerinnen und Schüler die Funktionsgleichungen richtig interpretieren und umformen können. Übungsaufgaben können helfen, das Verständnis zu festigen.
Wenn du weitere Tipps und Übungsaufgaben zu Potenzfunktionen in der 10. Klasse suchst, schau doch mal auf unserer Website vorbei. Dort findest du eine Vielzahl an kostenlosen Materialien zum Download.
