Gegeben ist die quadratische Funktion f(x) = x² + 4x + 3. Bestimme die Scheitelform der Parabel.
Lösung:
Zunächst bringen wir die quadratische Funktion in die Scheitelform:
f(x) = x² + 4x + 3
= (x + 2)² – 1
Durch Ausklammern der Binomischen Formel (x + 2)² erhalten wir:
f(x) = (x + 2)² – 1
Die Scheitelform der Parabel lautet also: f(x) = (x – (-2))² – 1. Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei (-2, -1).
Übung 2: Bestimme die Nullstellen der Parabel
Gegeben ist die quadratische Funktion g(x) = -2x² + 4x + 6. Bestimme die Nullstellen der Parabel.
Lösung:
Zunächst setzen wir g(x) = 0 und lösen nach x auf:
-2x² + 4x + 6 = 0
-x² + 2x + 3 = 0
(-x + 3)(x + 1) = 0
Die Nullstellen der Parabel sind also x1 = 3 und x2 = -1.
Übung 3: Bestimme den Scheitel und die Nullstellen der Parabel
Gegeben ist die quadratische Funktion h(x) = -x² + 4x – 5. Bestimme den Scheitelpunkt und die Nullstellen der Parabel.
Lösung:
Zunächst bringen wir die quadratische Funktion in die Scheitelform:
h(x) = -x² + 4x – 5
= -(x – 2)² + 1
Durch Ausklammern der Binomischen Formel (x – 2)² erhalten wir:
h(x) = -(x – 2)² + 1
Die Scheitelform der Parabel lautet also: h(x) = -(x – 2)² + 1. Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei (2, 1).
Zur Bestimmung der Nullstellen setzen wir h(x) = 0 und lösen nach x auf:
-(x – 2)² + 1 = 0
-(x – 2)² = -1
(x – 2)² = 1
x – 2 = ±1
x1 = 1 + 2 = 3 und x2 = -1 + 2 = 1
Die Nullstellen der Parabel sind also x1 = 3 und x2 = 1.
Erklärungen zu Parabeln Klasse 8
Parabeln gehören zu den wichtigsten Funktionen der Mathematik und werden in der 8. Klasse eingeführt. Eine Parabel entsteht durch das Schneiden einer Ebene mit einem senkrecht zu ihr stehenden Doppelkegel.
Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet: f(x) = ax² + bx + c. Dabei sind a, b und c Konstanten. Die Parabel hat eine Symmetrieachse, die senkrecht zur x-Achse verläuft. Der Scheitelpunkt der Parabel liegt auf dieser Achse.
Die Scheitelform einer quadratischen Funktion lautet: f(x) = a(x – x0)² + y0. Dabei sind x0 und y0 die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel.
Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu bestimmen, setzen wir die Funktion gleich 0 und lösen nach x auf.
Parabeln sind in der Mathematik ein wichtiger Bestandteil des Unterrichts in der 8. Klasse. Sie können jedoch auch in Textaufgaben vorkommen, die oft schwierig zu lösen sind. In diesem Beitrag werden wir uns mit einigen Textaufgaben zu Parabeln in der 8. Klasse beschäftigen.
Beispiel 1:
Ein Ball wird von einem Turm aus 20 Metern Höhe abgeworfen. Die Flugbahn des Balls kann durch die Parabel y = -0,01x^2 + x + 20 beschrieben werden. Wie weit ist der Ball vom Turm entfernt, wenn er den Boden erreicht?
Lösung:
Um zu berechnen, wo der Ball den Boden erreicht, setzen wir y auf 0:
0 = -0,01x^2 + x + 20
Wir lösen diese Gleichung nach x auf:
x = 100
Der Ball ist also 100 Meter vom Turm entfernt, wenn er den Boden erreicht.
Beispiel 2:
Ein Scheinwerfer soll so aufgestellt werden, dass er ein Rechteck ausleuchtet, das 10 Meter breit und 8 Meter hoch ist. Der Scheinwerfer soll sich auf einer Geraden befinden, die parallel zur Längsseite des Rechtecks verläuft und 6 Meter von dieser entfernt ist. Auf welcher Höhe muss der Scheinwerfer angebracht werden?
Lösung:
Die Parabel, die die Flugbahn des Lichts beschreibt, hat die Form y = a(x – h)^2 + k. Wir wissen, dass der Scheinwerfer 6 Meter von der Längsseite des Rechtecks entfernt ist und dass das Rechteck eine Breite von 10 Metern hat. Daher muss der Scheinwerfer auf einer Geraden liegen, die 8 Meter von der unteren Kante des Rechtecks entfernt ist. Wir setzen x = 6 und y = 8 ein:
8 = a(6 – h)^2 + k
Wir wissen auch, dass der Scheinwerfer auf einer Geraden liegt, die parallel zur Längsseite des Rechtecks verläuft. Daher wissen wir, dass die Gerade die Gleichung y = b hat. Wir setzen x = 0 und y = 4 (die Mitte der Längsseite des Rechtecks) ein:
4 = a(-h)^2 + k
Wir haben also zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (a und k). Wir lösen diese Gleichungen nach a und k auf und erhalten:
a = 1/144 und k = 67/9
Die Parabel, die die Flugbahn des Lichts beschreibt, hat also die Form y = 1/144(x – 6)^2 + 67/9. Wir wollen nun die Höhe berechnen, auf der der Scheinwerfer angebracht werden muss, um das Rechteck auszuleuchten. Dazu setzen wir x = 0 ein:
y = 67/9
Der Scheinwerfer muss also auf einer Höhe von 67/9 Metern angebracht werden.
Textaufgaben zu Parabeln können schwierig sein, erfordern jedoch nur ein Verständnis der grundlegenden Konzepte von Parabeln. Wenn du Schwierigkeiten hast, Textaufgaben zu lösen, solltest du versuchen, die Flugbahn der Parabel zu skizzieren und die Gleichungen der Parabeln zu nutzen, um die Lösung zu finden.
Parabeln sind in der 8. Klasse ein wichtiger Bestandteil des Mathematikunterrichts.
Textaufgaben zu Parabeln können schwierig sein, erfordern jedoch nur ein Verständnis der grundlegenden Konzepte von Parabeln.
Wenn du Schwierigkeiten hast, Textaufgaben zu lösen, solltest du versuchen, die Flugbahn der Parabel zu skizzieren und die Gleichungen der Parabeln zu nutzen, um die Lösung zu finden.
Beispiel
Lösung
Ein Ball wird von einem Turm aus 20 Metern Höhe abgeworfen. Wie weit ist der Ball vom Turm entfernt, wenn er den Boden erreicht?
Der Ball ist 100 Meter vom Turm entfernt, wenn er den Boden erreicht.
Ein Scheinwerfer soll so aufgestellt werden, dass er ein Rechteck ausleuchtet, das 10 Meter breit und 8 Meter hoch ist. Auf welcher Höhe muss der Scheinwerfer angebracht werden?
Der Scheinwerfer muss auf einer Höhe von 67/9 Metern angebracht werden.
