Mit Hilfe des Taschenrechners können wir den Winkel alpha berechnen:
alpha = arcsin(5/13)
alpha ≈ 23,58°
Aufgabe 3: Berechnung von Seitenlängen
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel alpha = 30° und der Hypotenuse c=10 cm. Berechne die Katheten a und b.
Lösung:
Zunächst berechnen wir die Kathete b mit Hilfe des Sinus:
Sinus(alpha) = Gegenkathete/Hypotenuse = a/c
a = Sinus(alpha) * c = 1/2 * 10 = 5
Nun können wir die Kathete a mit Hilfe des Cosinus berechnen:
Cosinus(alpha) = Ankathete/Hypotenuse = b/c
b = Cosinus(alpha) * c = √(3)/2 * 10 ≈ 8,66
Aufgabe 4: Anwendung von Trigonometrie
Ein Ball wird von einer Rampe mit einer Höhe von 2 m und einem Neigungswinkel von 30° abgeschossen. Berechne die Geschwindigkeit des Balls, wenn er eine Strecke von 10 m zurücklegt.
Lösung:
Zunächst berechnen wir die Kathete a (Höhe der Rampe) mit Hilfe des Sinus:
Sinus(30°) = Gegenkathete/Hypotenuse = a/2
a = Sinus(30°) * 2 = 1
Nun können wir die Kathete b (Strecke auf der Ebene) mit Hilfe des Cosinus berechnen:
Cosinus(30°) = Ankathete/Hypotenuse = b/10
b = Cosinus(30°) * 10 = √(3)/2 * 10 ≈ 8,66
Wir können nun die Geschwindigkeit v des Balls berechnen, indem wir die kinetische Energie am Ende der Rampe gleich der potenziellen Energie am Anfang der Rampe setzen:
m * g * h = 1/2 * m * v²
g * h = 1/2 * v²
v = √(2 * g * h)
v = √(2 * 9,81 * 2) ≈ 6,26 m/s
Erklärungen Trigonometrie Klasse 9
Trigonometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie, das sich mit den Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln von Dreiecken beschäftigt. In der neunten Klasse werden insbesondere die trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens eingeführt und angewendet.
Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse, der Cosinus ist das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse und der Tangens ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete. Mit Hilfe dieser Funktionen können wir Seitenlängen und Winkel in rechtwinkligen Dreiecken berechnen.
Trigonometrie ist eine wichtige Grundlage für viele Anwendungen in der Physik und Technik, wie zum Beispiel bei der Berechnung von Kräften und Geschwindigkeiten in der Mechanik oder bei der Signalverarbeitung in der Elektrotechnik.
In der neunten Klasse stehen viele Schülerinnen und Schüler vor der Herausforderung, Textaufgaben zu lösen. Besonders knifflig können dabei Aufgaben aus dem Bereich der Trigonometrie sein. Doch keine Sorge, mit ein paar Tipps und Tricks lässt sich auch diese Herausforderung meistern.
Was ist Trigonometrie?
Trigonometrie beschäftigt sich mit den Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln von Dreiecken. In der Schule werden dabei vor allem rechtwinklige Dreiecke betrachtet. Die wichtigsten trigonometrischen Funktionen sind Sinus, Kosinus und Tangens.
Wie löst man Textaufgaben aus Trigonometrie?
Um eine Textaufgabe aus Trigonometrie zu lösen, ist es wichtig, zunächst die gegebenen Informationen zu identifizieren. Welche Seitenlängen oder Winkel sind bekannt? Welche Größe soll berechnet werden?
Als nächstes kann man versuchen, eine Skizze des Dreiecks anzufertigen. Oft hilft es auch, sich die Aufgabe verbal zu verdeutlichen: Was genau soll berechnet werden und auf welche Weise?
Dann kann man die passende trigonometrische Funktion auswählen und mit Hilfe von Gleichungen und Umstellungen die gesuchte Größe berechnen. Dabei sollte man auf Einheiten und Rundungen achten und das Ergebnis am Ende noch einmal überprüfen.
Beispiel-Aufgabe
Um das Ganze zu verdeutlichen, hier eine Beispiel-Aufgabe:
Ein 5m langer Baum wirft einen Schatten von 3m Länge. Wie hoch ist der Baum?
Zunächst muss man sich überlegen, welcher Winkel im Dreieck gesucht ist. Da der Baum als Kathete und der Schatten als Ankathete fungieren, benötigt man die Tangens-Funktion. Der gesuchte Winkel ist also arctan(5/3) ≈ 59,04°.
Um nun die Höhe des Baumes zu berechnen, benötigt man den Kosinus des Winkels. cos(59,04°) ≈ 0,523. Multipliziert mit der Länge des Baumes ergibt sich eine Höhe von 2,615m.
Textaufgaben aus Trigonometrie können auf den ersten Blick schwierig wirken, lassen sich aber mit ein wenig Übung und Systematik gut lösen. Wichtig ist es, die gegebenen Informationen genau zu identifizieren und sich eine klare Vorstellung vom Dreieck zu verschaffen. Dann kann man die passende trigonometrische Funktion auswählen und das Ergebnis mit Hilfe von Gleichungen und Umstellungen berechnen.
