Übung 1: Bestimmung der Steigung und des y-Achsenabschnitts
Gegeben ist die Funktion f(x) = 2x + 3. Bestimme die Steigung und den y-Achsenabschnitt.
Steigung: Die Steigung der Funktion ist der Koeffizient vor dem x. In diesem Fall ist die Steigung 2.
y-Achsenabschnitt: Der y-Achsenabschnitt ist der Wert von f(0). Dazu setzen wir x = 0 in die Funktion ein: f(0) = 2*0 + 3 = 3. Der y-Achsenabschnitt ist also 3.
Übung 2: Bestimmung des Funktionsgraphen
Gegeben ist die Funktion f(x) = -0,5x + 4. Zeichne den Funktionsgraphen in ein Koordinatensystem.
x
-2
-1
0
1
2
f(x)
5
4,5
4
3,5
3
Um den Funktionsgraphen zu zeichnen, tragen wir die Punkte aus der Tabelle in ein Koordinatensystem ein und verbinden sie mit einer Geraden.
Erklärungen zu Linearen Funktionen Klasse 8:
Lineare Funktionen sind Funktionen, bei denen die Variable nur in der ersten Potenz vorkommt. Sie haben die allgemeine Form f(x) = mx + n, wobei m die Steigung und n der y-Achsenabschnitt der Geraden sind.
Die Steigung gibt an, wie stark die Gerade ansteigt oder abfällt. Sie wird berechnet, indem man die Änderung der Funktionswerte durch die Änderung der x-Werte teilt: m = (f(x2) – f(x1)) / (x2 – x1).
Der y-Achsenabschnitt gibt an, wo die Gerade die y-Achse schneidet. Er wird berechnet, indem man den Funktionswert bei x = 0 bestimmt: n = f(0).
Um den Funktionsgraphen einer linearen Funktion zu zeichnen, können wir die Steigung und den y-Achsenabschnitt bestimmen und dann Punkte im Koordinatensystem einzeichnen und mit einer Geraden verbinden. Alternativ können wir auch zwei Punkte auf der Geraden bestimmen und diese verbinden.
In der 8. Klasse steht das Thema Lineare Funktionen auf dem Lehrplan. Ein wichtiger Bestandteil davon sind Textaufgaben, die das Verständnis und die Anwendung der Thematik fördern. Im Folgenden stellen wir einige Beispiele für Textaufgaben zu Linearen Funktionen vor.
Beispiel 1:
Eine Firma stellt T-Shirts her und verkauft sie für 12€ pro Stück. Die Produktionskosten betragen 8€ pro T-Shirt. Wie viele T-Shirts muss die Firma mindestens verkaufen, um keinen Verlust zu machen?
Lösung:
Der Gewinn pro verkauftem T-Shirt beträgt 12€ – 8€ = 4€. Um keinen Verlust zu machen, müssen die Produktionskosten durch die Einnahmen gedeckt sein. Also gilt:
8x = 12x – 0
4x = 0
x = 0
Die Firma muss also mindestens 0 T-Shirts verkaufen, um keinen Verlust zu machen. Da das jedoch unrealistisch ist, kann man sagen, dass die Firma ab dem Verkauf des ersten T-Shirts Gewinn macht.
Beispiel 2:
Ein Autovermieter verlangt eine Gebühr von 30€ pro Tag und zusätzlich 0,20€ pro Kilometer. Wie viele Kilometer darf ein Kunde maximal fahren, um nicht mehr als 100€ zu zahlen?
Lösung:
Sei x die Anzahl der Kilometer, die der Kunde fährt. Dann ergibt sich der zu zahlende Betrag aus:
30€ + 0,20€ * x ≤ 100€
0,20€ * x ≤ 70€
x ≤ 350
Der Kunde darf also maximal 350 Kilometer fahren, um nicht mehr als 100€ zu zahlen.
Beispiel 3:
Ein Handyvertrag kostet monatlich 20€ Grundgebühr plus 0,10€ pro verbrauchter Minute. Wie viele Minuten darf man höchstens telefonieren, um nicht mehr als 30€ im Monat zu zahlen?
Lösung:
Sei x die Anzahl der verbrauchten Minuten. Dann ergibt sich der zu zahlende Betrag aus:
20€ + 0,10€ * x ≤ 30€
0,10€ * x ≤ 10€
x ≤ 100
Man darf also höchstens 100 Minuten telefonieren, um nicht mehr als 30€ im Monat zu zahlen.
Textaufgaben zu Linearen Funktionen sind eine wichtige Möglichkeit, das Verständnis und die Anwendung der Thematik zu üben. Dabei geht es nicht nur um die reine Berechnung, sondern auch um die Interpretation und Anwendung der Ergebnisse in realen Situationen.
Weitere Beispiele für Textaufgaben zu Linearen Funktionen:
Aufgabenstellung
Lösung
Ein Flugzeug fliegt mit einer Geschwindigkeit von 800 km/h. Wie lange dauert ein Flug von Berlin nach New York, wenn die Entfernung 6.000 km beträgt?
7,5 Stunden
Ein Fahrradhändler verkauft ein Fahrrad für 500€. Im nächsten Jahr will er den Preis um 5% senken. Wie viel kostet das Fahrrad dann?
475€
Ein Ballon steigt mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s. Wie hoch ist der Ballon nach 30 Sekunden?
