Gegeben ist die Funktion f(x) = 2x – 3. Berechne die Steigung dieser Funktion.
Lösung:
Die Steigung einer linearen Funktion ergibt sich aus dem Koeffizienten vor dem x. In diesem Fall ist die Steigung also 2.
Aufgabe 2: Funktionsgleichung aufstellen
Gegeben sind zwei Punkte auf einer Geraden: A(1|3) und B(4|9). Stelle die Funktionsgleichung der Geraden auf.
Lösung:
Um die Funktionsgleichung aufzustellen, benötigen wir die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b. Die Steigung ergibt sich aus der Formel m = (y2 – y1)/(x2 – x1), also m = (9 – 3)/(4 – 1) = 2. Der y-Achsenabschnitt b ergibt sich aus dem Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet. Dazu können wir einen der gegebenen Punkte verwenden, z.B. A(1|3). Somit haben wir b = y – mx = 3 – 2*1 = 1. Die Funktionsgleichung lautet also f(x) = 2x + 1.
Aufgabe 3: Schnittpunkt berechnen
Gegeben sind die Funktionen f(x) = 3x – 2 und g(x) = -2x + 7. Berechne den Schnittpunkt dieser beiden Geraden.
Lösung:
Um den Schnittpunkt zu berechnen, setzen wir die beiden Funktionen gleich und lösen nach x auf: 3x – 2 = -2x + 7. Addieren wir auf beiden Seiten 2x und ziehen 7 ab, erhalten wir 5x = 5. Somit ist x = 1. Setzen wir x = 1 in eine der beiden Funktionen ein, z.B. f(x), erhalten wir y = 1. Der Schnittpunkt lautet also (1|1).
Lineare Funktionen sind Funktionen, die sich in der Form f(x) = mx + b darstellen lassen, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist. Die Steigung gibt an, um wie viel sich der Funktionswert f(x) ändert, wenn man x um 1 erhöht. Der y-Achsenabschnitt gibt an, bei welchem Wert die Gerade die y-Achse schneidet.
Lineare Funktionen spielen in der Mathematik eine wichtige Rolle, da sie in vielen Anwendungsgebieten vorkommen, z.B. bei der Berechnung von Geschwindigkeiten, Wachstumsraten oder Gewinnen. Auch in der Physik sind lineare Funktionen häufig anzutreffen, z.B. bei der Beschreibung von Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit.
Um eine lineare Funktion zu zeichnen, benötigt man mindestens zwei Punkte auf der Geraden. Diese können entweder durch Angabe von konkreten Punkten oder durch Berechnung aus der Funktionsgleichung gefunden werden. Um die Funktionsgleichung aus zwei gegebenen Punkten zu bestimmen, kann man die Steigung m mit der Formel m = (y2 – y1)/(x2 – x1) berechnen und dann den y-Achsenabschnitt b mit einem der Punkte bestimmen, z.B. b = y – mx.
Lineare Funktionen sind ein wichtiges Thema in der Mathematik der 9. Klasse. Besonders interessant sind dabei Textaufgaben, die den Schülern zeigen, wie man die Theorie in der Praxis anwenden kann. In diesem Blogbeitrag sollen einige Beispiele für Textaufgaben zu linearen Funktionen vorgestellt werden.
Beispiel 1:
Der Preis für ein Kinoticket beträgt 8€. Für jede Person, die mitkommt, verringert sich der Preis pro Person um 0,50€. Wie viele Personen müssen mindestens mitkommen, damit der Preis pro Person höchstens 5€ beträgt?
Zunächst überlegt man sich, dass eine lineare Funktion den Preis in Abhängigkeit von der Anzahl der Personen beschreibt. Die Funktion lautet: p(n) = 8 – 0,5n, wobei n die Anzahl der Personen ist. Gesucht ist nun die Anzahl der Personen, bei der p(n) höchstens 5€ beträgt. Dafür setzt man 5 in die Funktion ein und löst nach n auf:
5 = 8 – 0,5n
-3 = -0,5n
n = 6
Also müssen mindestens 6 Personen mitkommen, damit der Preis pro Person höchstens 5€ beträgt.
Beispiel 2:
Ein Autohersteller produziert jeden Monat 500 Autos. Die Fixkosten betragen 100.000€, die variablen Kosten pro Auto betragen 10.000€. Der Verkaufspreis pro Auto liegt bei 20.000€. Wie viele Autos muss der Hersteller im Monat verkaufen, damit er keinen Verlust macht?
Die Gesamtkostenfunktion lautet: K(x) = 100.000 + 10.000x, wobei x die Anzahl der produzierten Autos ist. Die Gesamteinnahmenfunktion lautet: E(x) = 20.000x. Gesucht ist nun der Schnittpunkt der beiden Funktionen, da dies der Punkt ist, an dem der Hersteller keinen Verlust macht. Dafür setzt man die beiden Funktionen gleich und löst nach x auf:
100.000 + 10.000x = 20.000x
100.000 = 10.000x
x = 10
Der Hersteller muss also mindestens 10 Autos im Monat verkaufen, um keinen Verlust zu machen.
Textaufgaben zu linearen Funktionen können sehr interessant sein und den Schülern helfen, die Theorie besser zu verstehen. Dabei ist es wichtig, die Funktionen richtig aufzustellen und die Aufgabenstellung genau zu lesen. Durch das Lösen von Textaufgaben können die Schüler auch ihr logisches Denken trainieren und auf die Anwendung von Mathematik in der Praxis vorbereitet werden.
In diesem Blogbeitrag werden verschiedene Beispiele für Textaufgaben zu linearen Funktionen vorgestellt, um Schülern in der 9. Klasse die Anwendung der Theorie in der Praxis zu zeigen.
