Ein Geschäft verkauft T-Shirts und Shorts. Ein T-Shirt kostet 15€ und eine Short kostet 20€. Ein Kunde hat insgesamt 200€ zur Verfügung und möchte mindestens 5 T-Shirts und 5 Shorts kaufen. Wie viele T-Shirts und Shorts kann er maximal kaufen?
Lösung:
Wir können diese Aufgabe mit einem linearen Gleichungssystem lösen.
Sei x die Anzahl der T-Shirts und y die Anzahl der Shorts. Dann haben wir folgende Gleichungen:
15x + 20y ≤ 200 (der Kunde hat maximal 200€ zur Verfügung)
x ≥ 5 (der Kunde möchte mindestens 5 T-Shirts kaufen)
y ≥ 5 (der Kunde möchte mindestens 5 Shorts kaufen)
Nun können wir diese Gleichungen in einem Koordinatensystem darstellen und den Bereich markieren, der die Bedingungen erfüllt.
y
0
5
10
15
15x + 20y
0
100
200
300
Der Bereich, der die Bedingungen erfüllt, ist das Dreieck, das durch die Geraden y = 5, x = 5 und 15x + 20y = 200 begrenzt wird.
Daraus lesen wir ab, dass der Kunde maximal 8 T-Shirts und 7 Shorts kaufen kann.
Aufgabe 2:
Eine Schülerin möchte ihre Mathe- und Englischleistung verbessern. Sie möchte mindestens 3 Stunden pro Woche Mathe lernen und mindestens 2 Stunden pro Woche Englisch lernen. Sie hat insgesamt 10 Stunden pro Woche Zeit zum Lernen. Für jede Stunde Mathe bekommt sie 2 Lernpunkte und für jede Stunde Englisch bekommt sie 3 Lernpunkte. Wie viele Stunden sollte sie pro Woche Mathe und Englisch lernen, um möglichst viele Lernpunkte zu bekommen?
Lösung:
Sei x die Anzahl der Stunden, die die Schülerin Mathe lernt, und y die Anzahl der Stunden, die sie Englisch lernt. Dann haben wir folgende Gleichungen:
x + y ≤ 10 (die Schülerin hat insgesamt 10 Stunden Zeit zum Lernen)
Wir möchten nun die Anzahl der Lernpunkte maximieren, also 2x + 3y.
Wir können diese Aufgabe mit dem Simplex-Verfahren lösen.
Schritt 1:
Wir stellen die Gleichungen in eine Tabelle um:
x
y
b
1
1
10
-1
0
-3
0
-1
-2
2
3
0
Die erste Zeile ist die Zielfunktion, die wir maximieren möchten. Die anderen Zeilen sind die Gleichungen, die die Bedingungen darstellen.
Schritt 2:
Wir suchen die Pivot-Spalte, also die Spalte mit dem größten negativen Wert in der Zielfunktion. Das ist Spalte y.
Schritt 3:
Wir suchen die Pivot-Zeile, also die Zeile, in der der Quotient aus der rechten Seite der Gleichung und dem Wert in der Pivot-Spalte am kleinsten ist. Das ist Zeile 4.
Schritt 4:
Wir teilen die Pivot-Zeile durch den Wert in der Pivot-Spalte, damit in der Pivot-Zelle eine 1 steht.
x
y
b
1
1
10
-1
0
-3
0
-1
-2
0.67
1
6.67
Schritt 5:
Wir eliminieren die anderen Zahlen in der Pivot-Spalte, indem wir die Pivot-Zeile mit den anderen Zeilen multiplizieren und von diesen subtrahieren.
x
y
b
1
0
7
0
0
-1
0
-1
-2
0
0
4
Schritt 6:
Wir haben nun eine optimale Lösung, da in der Zielfunktion keine negativen Werte mehr vorkommen.
Die optimale Lösung ist x = 7 und y = 2. Die Schülerin sollte also 7 Stunden Mathe und 2 Stunden Englisch lernen, um möglichst viele Lernpunkte zu bekommen.
Aufgabe 3:
Ein Autohersteller produziert zwei Modelle: Modell A und Modell B. Für Modell A benötigt er 20 Arbeitsstunden und für Modell B benötigt er 40 Arbeitsstunden. Er hat insgesamt 800 Arbeitsstunden pro Woche zur Verfügung. Er verkauft Modell A für 15000€ und Modell B für 25000€. Wie viele Autos von jedem Modell sollte er produzieren, um möglichst viel Gewinn zu machen?
Lösung:
Sei x die Anzahl der produzierten Autos von Modell A und y die Anzahl der produzierten Autos von Modell B. Dann haben wir folgende Gleichungen:
20x + 40y ≤ 800 (der Autohersteller hat maximal 800 Arbeitsstunden zur Verfügung)
x, y ≥ 0 (die Anzahl der produzierten Autos kann nicht negativ sein)
Wir möchten nun den Gewinn maximieren, also 15000x + 25000y.
Wir können diese Aufgabe mit dem Simplex-Verfahren lösen.
Schritt 1:
Wir stellen die Gleichungen in eine Tabelle um:
x
y
b
20
40
800
-15000
-25000
0
Die erste Zeile sind die Arbeitsstunden, die für jedes Modell benötigt werden. Die zweite Zeile ist die Zielfunktion, die wir maximieren möchten.
Schritt 2:
Wir suchen die Pivot-Spalte, also die Spalte mit dem größten negativen Wert in der Zielfunktion. Das ist Spalte x.
Schritt 3:
Wir suchen die Pivot-Zeile, also die Zeile, in der der Quotient aus der rechten Seite der Gleichung und dem Wert in der Pivot-Spalte am kleinsten ist. Das ist Zeile 1.
Schritt 4:
Wir teilen die Pivot-Zeile durch den Wert in der Pivot-Spalte, damit in der Pivot-Zelle eine 1 steht.
x
y
b
1
2
40
7500
-5000
750000
Schritt 5:
Wir eliminieren die anderen Zahlen in der Pivot-Spalte, indem wir die Pivot-Zeile mit den anderen Zeilen multiplizieren und von diesen subtrahieren.
x
y
b
1
0
10
0
-2
750000
Schritt 6:
Wir haben nun eine optimale Lösung, da in der Zielfunktion keine negativen Werte mehr vorkommen.
Die optimale Lösung ist x = 10 und y = 37500/2 = 18750. Der Autohersteller sollte also 10 Autos von Modell A und 18750 Autos von Modell B produzieren, um möglichst viel Gewinn zu machen.
Erklärungen zu Linearen Gleichungssystemen Klasse 11
Ein lineares Gleichungssystem ist eine Sammlung von Gleichungen, die jeweils eine lineare Funktion beschreiben. Ein Beispiel wäre:
2x + 3y = 12
5x – 2y = 7
Das Ziel bei linearen Gleichungssystemen ist es, die Werte von x und y zu finden, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen.
Es gibt verschiedene Verfahren, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Ein bekanntes Verfahren ist das Gauß-Verfahren, bei dem man die Gleichungen in eine Matrix umwandelt und dann durch elementare Zeilenoperationen auf eine Treppenform bringt. Aus der Treppenform kann man dann die Lösung ablesen.
Eine andere Methode ist das Simplex-Verfahren,
Heute möchten wir uns mit dem Thema „Textaufgaben Lineare Gleichungssysteme Klasse 11“ beschäftigen. In der Mathematik der Klasse 11 werden Schülerinnen und Schüler mit dem Thema Lineare Gleichungssysteme konfrontiert. Dabei geht es darum, Gleichungen mit mehreren Variablen zu lösen.
Was sind Textaufgaben?
Textaufgaben sind Aufgaben, bei denen ein Sachverhalt in Worte gefasst wird und die Schülerinnen und Schüler aus dem Text eine Gleichung aufstellen müssen. Oftmals werden Textaufgaben in der Praxis angewendet, um Probleme zu lösen. Daher ist es wichtig, dass Schülerinnen und Schüler lernen, Textaufgaben zu verstehen und zu lösen.
Wie löst man Textaufgaben?
Um Textaufgaben zu lösen, muss man zuerst den Sachverhalt verstehen. Anschließend muss man die gegebenen Informationen in Gleichungen umformulieren. Zum Schluss müssen alle Gleichungen gelöst werden, um die Lösung des Problems zu erhalten.
Beispiel einer Textaufgabe
Eine Bäckerei verkauft Brötchen und Croissants. Pro Brötchen nimmt sie 0,50 Euro ein, pro Croissant 0,80 Euro. An einem Tag verkauft die Bäckerei insgesamt 150 Stücke und nimmt 95 Euro ein. Wie viele Brötchen und Croissants wurden verkauft?
Um diese Textaufgabe zu lösen, müssen wir zwei Gleichungen aufstellen:
Textaufgaben sind eine wichtige Komponente im Mathematikunterricht der Klasse 11. Schülerinnen und Schüler müssen lernen, Textaufgaben zu verstehen und zu lösen. Dabei sind Lineare Gleichungssysteme ein wichtiger Bestandteil. Durch Übung und Geduld können Schülerinnen und Schüler ihre Fähigkeiten in diesem Bereich verbessern.
