Übung 1: Lösen von Gleichungssystemen mit zwei Variablen
Löse das Gleichungssystem:
x + y = 7
2x – y = 1
Multipliziere die erste Gleichung mit 2, um die Variable y zu eliminieren: 2x + 2y = 14
Addiere die zweite Gleichung zur neuen Gleichung: 2x + 2y – y = 15
Löse nach x auf: x = 5
Setze x in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und löse nach y auf: y = 2
Die Lösung des Gleichungssystems lautet: x = 5, y = 2
Übung 2: Lösen von Gleichungssystemen mit drei Variablen
Löse das Gleichungssystem:
x + y + z = 10
2x – y + 3z = 0
3x + y + z = 6
Addiere die erste Gleichung zur zweiten Gleichung, um die Variable y zu eliminieren: 3x + 4z = 10
Subtrahiere die erste Gleichung von der dritten Gleichung, um die Variable y zu eliminieren: 2x + z = -4
Multipliziere die erste Gleichung mit -3 und addiere sie zur neuen Gleichung aus Schritt 1, um die Variable z zu eliminieren: x = 2
Setze x in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und löse nach y auf: y = 3
Setze x und y in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und löse nach z auf: z = 5
Die Lösung des Gleichungssystems lautet: x = 2, y = 3, z = 5
Erklärungen zu Linearen Gleichungssystemen in der Klasse 9
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei oder mehr linearen Gleichungen mit zwei oder mehr Variablen. Das Ziel ist es, die Werte der Variablen zu finden, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen.
Es gibt verschiedene Methoden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Eine Möglichkeit ist das Additionsverfahren, bei dem die Gleichungen so addiert oder subtrahiert werden, dass eine Variable eliminiert wird. Eine andere Möglichkeit ist das Einsetzungsverfahren, bei dem eine Variable aus einer Gleichung isoliert und in eine andere Gleichung eingesetzt wird.
Es ist wichtig zu beachten, dass ein Gleichungssystem entweder keine Lösung haben kann (wenn die Gleichungen widersprüchlich sind) oder unendlich viele Lösungen haben kann (wenn die Gleichungen äquivalent sind).
Die Lösung von Textaufgaben mit Linearen Gleichungssystemen ist ein wichtiger Bestandteil des Mathematikunterrichts in der 9. Klasse der Realschule. Es ist ein Thema, das vielen Schülern Schwierigkeiten bereitet, aber mit ein wenig Übung und Verständnis kann es gemeistert werden.
Was sind Lineare Gleichungssysteme?
Lineare Gleichungssysteme sind eine Sammlung von Gleichungen, die ein oder mehrere Variablen enthalten. Das Ziel ist es, die Werte der Variablen zu finden, die alle Gleichungen erfüllen. In der Regel gibt es mehrere Möglichkeiten, die Gleichungen zu lösen, aber die häufigste Methode ist die Substitutionsmethode oder die Additionsmethode.
Beispiel einer Textaufgabe mit Linearen Gleichungssystemen
Ein Beispiel für eine Textaufgabe mit Linearen Gleichungssystemen lautet: „Ein Autohersteller produziert zwei Modelle von Autos. Modell A kostet 10.000 Euro und Modell B kostet 15.000 Euro. Der Hersteller verkauft insgesamt 50 Autos und erzielt einen Umsatz von 750.000 Euro. Wie viele Autos wurden von jedem Modell verkauft?“
Um diese Textaufgabe zu lösen, müssen wir das Gleichungssystem aufstellen. Wir definieren A als die Anzahl der verkauften Modelle A und B als die Anzahl der verkauften Modelle B. Wir haben zwei Gleichungen:
A + B = 50 (weil insgesamt 50 Autos verkauft wurden)
10.000A + 15.000B = 750.000 (weil der Umsatz 750.000 Euro beträgt)
Um die Lösung zu finden, können wir die Substitutionsmethode oder die Additionsmethode verwenden. Hier verwenden wir die Substitutionsmethode:
Daraus folgt, dass A = 50 – B = 0. Das bedeutet, dass alle 50 verkauften Autos Modell B waren.
Textaufgaben mit Linearen Gleichungssystemen können eine Herausforderung für Schüler der 9. Klasse an der Realschule sein. Es ist jedoch ein wichtiger Teil der Mathematik, der in vielen Bereichen der Wissenschaft, Technologie und Wirtschaft angewendet wird. Mit ein wenig Übung und Verständnis können Schüler die Textaufgaben erfolgreich lösen und ihr Verständnis für Mathematik verbessern.
