Gegeben ist die quadratische Funktion f(x) = x² + 4x – 5. Bestimme die Nullstellen mithilfe der Pq-Formel.
Lösung:
a = 1, b = 4, c = -5
p = b/a = 4/1 = 4
q = c/a = -5/1 = -5
D = p²/4 – q = 4²/4 – (-5) = 6,25
x1/2 = -p/2 ± √D = -4/2 ± √6,25 = -2 ± 2,5
x1 = -2 + 2,5 = 0,5 und x2 = -2 – 2,5 = -4,5
Die Nullstellen sind x1 = 0,5 und x2 = -4,5.
Übung 2
Gegeben ist die quadratische Funktion g(x) = -2x² + 8x – 6. Untersuche, ob die Funktion Nullstellen hat.
Lösung:
a = -2, b = 8, c = -6
p = b/a = 8/-2 = -4
q = c/a = -6/-2 = 3
D = p²/4 – q = (-4)²/4 – 3 = 1
Da D > 0 ist, hat die Funktion zwei Nullstellen.
Übung 3
Gegeben ist die quadratische Funktion h(x) = 3x² – 6x + 9. Bestimme die Scheitelpunktform der Funktion.
Lösung:
a = 3, b = -6, c = 9
p = b/a = -6/3 = -2
q = c/a = 9/3 = 3
Scheitelpunkt S(h) hat die Koordinaten (-p/2 | q) = (2 | 3)
Somit lautet die Scheitelpunktform: h(x) = 3(x-2)² + 3
Die Pq-Formel wird verwendet, um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu bestimmen. Eine quadratische Funktion hat die Form f(x) = ax² + bx + c, wobei a, b und c reelle Zahlen sind und a ≠ 0 gilt.
Um die Nullstellen zu berechnen, setzt man f(x) = 0 und löst die Gleichung nach x auf. Dabei verwendet man die Pq-Formel:
x1/2 = -b/2a ± √(b²/4a² – c/a)
Dabei ist -b/2a der Scheitelpunkt der Parabel und b²/4a² – c/a ist die Diskriminante D.
Es gibt drei Fälle:
D > 0: Die Parabel schneidet die x-Achse an zwei Stellen, es gibt zwei reelle Nullstellen.
D = 0: Die Parabel berührt die x-Achse an einer Stelle, es gibt eine reelle Nullstelle.
D < 0: Die Parabel schneidet die x-Achse nicht, es gibt keine reelle Nullstelle.
Die Pq-Formel ist ein wichtiges Werkzeug in der Analysis und wird oft in der Physik und Ingenieurswissenschaften verwendet.
Die Pq-Formel ist ein wichtiges Thema in der neunten Klasse Mathematik. Insbesondere Textaufgaben, die sich auf quadratische Gleichungen beziehen, können mit Hilfe der Pq-Formel gelöst werden. In diesem Beitrag werden wir uns näher mit diesem Thema beschäftigen.
Was ist die Pq-Formel?
Die Pq-Formel ist eine Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0. Sie lautet:
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
Um die Pq-Formel anwenden zu können, müssen die Werte für a, b und c bekannt sein. Diese finden sich in der quadratischen Gleichung wieder.
Textaufgaben mit der Pq-Formel lösen
Textaufgaben, die sich auf quadratische Gleichungen beziehen, können mit Hilfe der Pq-Formel gelöst werden. Hier ein Beispiel:
Ein Rechteck hat eine Länge von 9 cm und eine Breite von x cm. Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt 45 cm². Wie lang ist die Breite des Rechtecks?
Zunächst wird die quadratische Gleichung aufgestellt:
9x – 45 = 0
Jetzt können wir die Pq-Formel anwenden:
x = (-9 ± √(9² – 4*1*(-45))) / 2*1
x1 = 5
x2 = -4
Da die Länge des Rechtecks positiv sein muss, ist die Breite x = 5 cm.
Die Pq-Formel ist ein wichtiges Werkzeug, um quadratische Gleichungen zu lösen. Insbesondere bei Textaufgaben, die sich auf quadratische Gleichungen beziehen, ist sie unverzichtbar. Mit Hilfe der Pq-Formel können Schülerinnen und Schüler der neunten Klasse Mathematik erfolgreich Textaufgaben lösen.
