Schreibe die folgenden quadratischen Funktionen in die Scheitelpunktform:
f(x) = x² – 6x + 8
f(x) = 2x² + 4x – 3
f(x) = -x² + 10x – 21
Lösung:
f(x) = (x – 3)² – 1
f(x) = 2(x + 1)² – 5
f(x) = -(x – 5)² + 46
Übung 3: Funktionsanalyse
Untersuche die folgenden quadratischen Funktionen auf ihre Eigenschaften:
f(x) = x² – 4x + 5
f(x) = -2x² + 8x – 7
f(x) = 3x² + 6x + 1
Lösung:
Funktion
Scheitelpunkt
Symmetrie
Nullstellen
Extremstellen
Verlauf
x² – 4x + 5
(2,-1)
Achsensymmetrisch zur y-Achse
Keine
Tiefpunkt bei (2,-1)
Nach oben geöffnet
-2x² + 8x – 7
(2,1)
Achsensymmetrisch zur y-Achse
Keine
Hochpunkt bei (2,1)
Nach unten geöffnet
3x² + 6x + 1
(-1,-2)
Achsensymmetrisch zum Scheitelpunkt
x₁ = -1/3, x₂ = -1
Tiefpunkt bei (-1,-2)
Nach oben geöffnet
Erklärungen zu Quadratischen Funktionen Klasse 10
Quadratische Funktionen sind Funktionen der Form f(x) = ax² + bx + c, wobei a, b und c Konstanten sind und a ≠ 0. Diese Funktionen können auf verschiedene Weisen dargestellt werden, zum Beispiel in der Normalform f(x) = ax² + bx + c oder in der Scheitelpunktform f(x) = a(x – h)² + k.
Zu den Eigenschaften von quadratischen Funktionen gehören der Scheitelpunkt, die Symmetrie, die Nullstellen, die Extremstellen und der Verlauf. Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion ist der Punkt, an dem die Funktion ihr Maximum oder Minimum annimmt. Die Symmetrie einer quadratischen Funktion kann achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Scheitelpunkt sein. Die Nullstellen einer quadratischen Funktion sind die Werte, für die f(x) = 0 gilt. Die Extremstellen einer quadratischen Funktion sind die Hoch- und Tiefpunkte. Der Verlauf einer quadratischen Funktion kann nach oben oder unten geöffnet sein, je nachdem, ob a positiv oder negativ ist.
Quadratische Funktionen haben in der Mathematik und Physik viele Anwendungen, zum Beispiel bei der Berechnung von Flugbahnen oder der Bestimmung von Maxima und Minima in der Statistik.
In der 10. Klasse beschäftigen sich Schülerinnen und Schüler intensiv mit quadratischen Funktionen. Dabei geht es nicht nur um das Rechnen mit Gleichungen, sondern auch um die Anwendung in realen Situationen. In diesem Blogbeitrag möchten wir uns daher den Textaufgaben zu quadratischen Funktionen widmen.
Was sind Textaufgaben zu quadratischen Funktionen?
Textaufgaben sind Aufgabenstellungen, die eine reale Situation beschreiben und die Schülerinnen und Schüler dazu auffordern, ein mathematisches Problem zu lösen. Im Kontext von quadratischen Funktionen geht es dabei oft um Fragen wie:
Wie hoch muss ein Ball geworfen werden, damit er eine bestimmte Höhe erreicht?
Wie lange dauert es, bis ein Objekt den Boden erreicht, wenn es aus einer bestimmten Höhe fallen gelassen wird?
Wie weit fliegt ein Ball, wenn er mit einer bestimmten Geschwindigkeit geworfen wird?
Um solche Aufgaben lösen zu können, müssen die Schülerinnen und Schüler die Formeln zur Berechnung von Quadratfunktionen anwenden und die gegebenen Werte in die Gleichungen einsetzen.
Beispiel einer Textaufgabe zu quadratischen Funktionen
Um das Konzept von Textaufgaben zu quadratischen Funktionen besser zu verstehen, wollen wir uns ein Beispiel genauer anschauen:
Ein Fußball wird aus einer Höhe von 15 Metern senkrecht nach oben geschossen. Die Funktion h(t) beschreibt die Höhe des Balls in Metern zum Zeitpunkt t in Sekunden. Bestimme die maximale Höhe, die der Ball erreicht.
Zur Lösung dieser Aufgabe müssen wir zunächst die entsprechende Funktion aufstellen. Da der Ball senkrecht nach oben geschossen wird und dann wieder zurückfällt, handelt es sich um eine Quadratfunktion. Die allgemeine Formel dafür lautet:
h(t) = -1/2 * g * t^2 + v0 * t + h0
Die Größen g, v0 und h0 sind Konstanten, die die Anfangsgeschwindigkeit, die Anfangshöhe und die Fallbeschleunigung beschreiben. Für unsere Aufgabe müssen wir aber nur die maximale Höhe berechnen, also können wir diese Konstanten ignorieren. Wir setzen einfach die gegebenen Werte ein:
h(t) = -1/2 * 9.81 * t^2 + 15
Um die maximale Höhe zu bestimmen, müssen wir die Ableitung dieser Funktion berechnen und die Nullstelle finden:
h'(t) = -9.81 * t
t = 0 (Nullstelle)
Dies bedeutet, dass der Ball seine maximale Höhe erreicht, wenn er den höchsten Punkt erreicht hat, also wenn t = 0 ist. Wir setzen t = 0 in die ursprüngliche Funktion ein:
h(0) = 15
Das bedeutet, dass der Ball eine maximale Höhe von 15 Metern erreicht hat.
Textaufgaben zu quadratischen Funktionen sind eine wichtige Anwendungsmöglichkeit für dieses mathematische Konzept. Sie helfen den Schülerinnen und Schülern, ihre Fähigkeiten in der Anwendung von Gleichungen zu verbessern und das Konzept von Quadratfunktionen besser zu verstehen. Wenn du weitere Fragen zu diesem Thema hast, sprich uns gerne an!
