Berechne den Sinus, Kosinus und Tangens für den Winkel α in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a = 3 cm und b = 4 cm.
Berechne die Hypotenuse c mit dem Satz des Pythagoras: c² = a² + b²
Sinus: sin(α) = Gegenkathete / Hypotenuse
Kosinus: cos(α) = Ankathete / Hypotenuse
Tangens: tan(α) = Gegenkathete / Ankathete
Antwort:
c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 → c = 5 cm
sin(α) = 3 / 5 ≈ 0,6
cos(α) = 4 / 5 ≈ 0,8
tan(α) = 3 / 4 = 0,75
Übung 2: Sinus- und Kosinussatz
Berechne die Länge der Seite c in einem Dreieck mit den Seiten a = 6 cm, b = 8 cm und dem Winkel γ = 60°.
Lösung:
Zuerst muss der fehlende Winkel α berechnet werden: α = 180° – 60° – 90° = 30°
Dann kann der Sinussatz angewendet werden:
sin(α) / a = sin(γ) / c → c = a * sin(γ) / sin(α)
c = 6 * sin(60°) / sin(30°) ≈ 6,93 cm
Übung 3: Höhe in einem Dreieck berechnen
Berechne die Höhe h in einem Dreieck mit den Seiten a = 5 cm, b = 7 cm und c = 8 cm.
Lösung:
Zunächst muss der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet werden:
A = (1/2) * b * h
Da die Seite c als Grundseite gewählt wird:
A = (1/2) * c * h
Um h zu berechnen, muss also nur noch c und A bekannt sein:
h = 2 * A / c
Der Flächeninhalt kann mit der Formel von Heron berechnet werden:
s = (a + b + c) / 2 ≈ 10
A = √(s * (s – a) * (s – b) * (s – c)) ≈ 17,32 cm²
h = 2 * 17,32 cm² / 8 cm ≈ 4,33 cm
Erklärungen Trigonometrie Klasse 10
Trigonometrie befasst sich mit den Verhältnissen der Seitenlängen und Winkel in Dreiecken. In der Klasse 10 werden vor allem rechtwinklige Dreiecke behandelt, in denen der Winkel zwischen den Katheten und der Hypotenuse mit den trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens berechnet werden kann.
Zusätzlich werden der Sinussatz und der Kosinussatz behandelt, mit denen die Seitenlängen und Winkel in beliebigen Dreiecken berechnet werden können. Auch die Höhe eines Dreiecks kann mit den trigonometrischen Funktionen berechnet werden.
Die Trigonometrie hat viele Anwendungen in der Geometrie, aber auch in der Physik, Astronomie und Technik.
Trigonometrie ist ein wichtiger Bestandteil des Mathematikunterrichts in der 10. Klasse. Dabei geht es um die Berechnung von Winkeln und Seitenlängen in Dreiecken mithilfe der trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens. Doch wie sieht es mit der Anwendung in Textaufgaben aus?
Beispiel 1:
Ein Segelboot fährt auf einem See in Richtung Norden. Aus 500 Metern Entfernung wird der Winkel zum Boot auf 30 Grad gemessen. Wie weit ist das Boot vom Ufer entfernt?
Zunächst müssen wir das Dreieck skizzieren und festlegen, welche Seite gesucht ist. In diesem Fall ist es die Entfernung vom Boot zum Ufer, also die Kathete gegenüber dem 30 Grad Winkel. Wir können den Sinus verwenden, da uns gegenüber dem gesuchten Winkel die Ankathete bekannt ist.
sin(30) = gegenüberliegende Seite / 500m
Um die Entfernung vom Boot zum Ufer zu berechnen, müssen wir die Gleichung nach der gesuchten Seite umstellen:
gegenüberliegende Seite = 500m * sin(30)
gegenüberliegende Seite = 250m
Das Boot ist also 250 Meter vom Ufer entfernt.
Beispiel 2:
Ein Turm ist 30 Meter hoch. Der Winkel zwischen dem Horizont und der Sichtlinie zu einem Punkt am Turm beträgt 60 Grad. Wie weit entfernt ist der Punkt vom Fuß des Turms?
Wir müssen wieder das Dreieck skizzieren und die gesuchte Seite festlegen. In diesem Fall ist es die Entfernung vom Fuß des Turms zum Punkt, also die Hypotenuse. Wir können den Sinus oder Cosinus verwenden, da uns entweder die Ankathete oder die Gegenkathete bekannt ist. Wir wählen hier den Cosinus, da uns die Gegenkathete bekannt ist:
cos(60) = Ankathete / 30m
Um die Entfernung vom Fuß des Turms zum Punkt zu berechnen, müssen wir die Gleichung nach der gesuchten Seite umstellen:
Ankathete = 30m * cos(60)
Ankathete = 15m
Da wir die Hypotenuse suchen, müssen wir die Pythagoras-Formel anwenden:
Hypotenuse = sqrt(Ankathete^2 + Gegenkathete^2)
Hypotenuse = sqrt(15m^2 + 30m^2)
Hypotenuse = 34,64m
Der Punkt ist also etwa 34,64 Meter vom Fuß des Turms entfernt.
Textaufgaben zur Trigonometrie in der 10. Klasse erfordern das Verständnis der trigonometrischen Funktionen sowie das Skizzieren und Lösen von Dreiecken. Es ist wichtig, die Formeln und Rechenwege zu beherrschen, um die richtigen Ergebnisse zu erzielen. Mit Übung und Geduld können jedoch auch komplexere Aufgaben erfolgreich gelöst werden.
Skizziere das Dreieck und lege die gesuchte Seite fest.
Überlege, welche trigonometrische Funktion du verwenden musst.
Stelle die Gleichung auf und berechne die gesuchte Seite.
Wende bei Bedarf die Pythagoras-Formel an, um die Hypotenuse zu berechnen.
Überprüfe deine Ergebnisse und runde gegebenenfalls auf die geforderte Genauigkeit.
