Übung 1: Berechne die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks
Gesucht ist die Länge der Hypotenuse c eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a=8cm und b=6cm.
Zeichne das Dreieck und markiere die Katheten a und b sowie die Hypotenuse c.
Wende den Satz des Pythagoras an: c² = a² + b²
Löse nach c auf: c = √(a² + b²)
Setze die Werte für a und b ein und berechne c: c = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10cm
Die Hypotenuse des Dreiecks hat eine Länge von 10cm.
Übung 2: Berechne eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks
Gesucht ist die Länge der Kathete a eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse c=10cm und der Kathete b=6cm.
Zeichne das Dreieck und markiere die Katheten a und b sowie die Hypotenuse c.
Wende den Satz des Pythagoras an: c² = a² + b²
Löse nach a auf: a² = c² – b²
Setze die Werte für c und b ein und berechne a: a² = 10² – 6² = 100 – 36 = 64, a = √64 = 8cm
Die Kathete a des Dreiecks hat eine Länge von 8cm.
Übung 3: Berechne eine weitere Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks
Gesucht ist die Länge der Kathete b eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse c=5cm und der Kathete a=3cm.
Zeichne das Dreieck und markiere die Katheten a und b sowie die Hypotenuse c.
Wende den Satz des Pythagoras an: c² = a² + b²
Löse nach b auf: b² = c² – a²
Setze die Werte für c und a ein und berechne b: b² = 5² – 3² = 25 – 9 = 16, b = √16 = 4cm
Die Kathete b des Dreiecks hat eine Länge von 4cm.
Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Quadrate der beiden Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist:
c² = a² + b²
Dabei ist c die Länge der Hypotenuse und a und b sind die Längen der Katheten.
Der Satz des Pythagoras ist eine der grundlegenden Formeln der Geometrie und wird in vielen Bereichen der Mathematik, Physik und Technik angewendet.
In der 9. Klasse werden oft Textaufgaben behandelt, welche auf dem Satz des Pythagoras basieren. Der Satz des Pythagoras besagt: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate über den Katheten gleich dem Quadrat über der Hypotenuse.
Beispiel:
Eine Leiter lehnt an einer Hauswand. Der Abstand von der Wand zur Leiter beträgt 2,5 Meter. Die Leiter hat eine Länge von 5,5 Metern. Wie hoch ist der Punkt, an dem die Leiter die Wand berührt?
Um diese Aufgabe zu lösen, müssen wir den Satz des Pythagoras anwenden. Wir setzen die Länge der Hypotenuse (die Leiter) mit 5,5 Metern ein und die Länge der Kathete (der Abstand zur Wand) mit 2,5 Metern. Nun können wir die Höhe des Punktes berechnen, an dem die Leiter die Wand berührt:
c² = a² + b²
5,5² = 2,5² + b²
30,25 = 6,25 + b²
b² = 24
b = √24 = 4,9
Das bedeutet, dass der Punkt, an dem die Leiter die Wand berührt, 4,9 Meter hoch ist.
In der 9. Klasse werden oft Textaufgaben behandelt, welche auf dem Satz des Pythagoras basieren. Um diese Aufgaben zu lösen, muss man den Satz des Pythagoras anwenden und die Länge der Katheten und/oder der Hypotenuse berechnen. Mit diesem Wissen kann man dann verschiedene Aufgabenstellungen angehen und lösen.
Als erstes muss man die gegebenen Größen identifizieren und notieren.
Dann setzt man die Größen in die Formel des Satzes des Pythagoras ein.
Zuletzt löst man die Gleichung.
Vorteile des Satzes des Pythagoras:
Nachteile des Satzes des Pythagoras:
– Einfache Anwendung
– Funktioniert nur bei rechtwinkligen Dreiecken
– Universell einsetzbar
– Kann nur die Längen der Seiten berechnen, nicht aber Winkel oder Flächeninhalte
– Wichtige Grundlage für höhere Mathematik und Physik
– Kann bei zu großen Zahlen unübersichtlich werden
Insgesamt ist der Satz des Pythagoras ein wichtiger Bestandteil der Mathematik und wird oft in der Schule behandelt. Mit diesem Wissen kann man viele Aufgabenstellungen lösen und auch in der höheren Mathematik und Physik weiterarbeiten.
