Gegeben sind die folgenden Gleichungssysteme. Lösen Sie sie durch Einsetzungs- oder Additionsverfahren:
a) 2x + y = 5
x – y = 1
Lösung:
Wir lösen das zweite Gleichungssystem nach x auf:
x = y + 1
Nun setzen wir den Wert von x in die erste Gleichung ein:
2(y + 1) + y = 5
3y + 2 = 5
3y = 3
y = 1
Jetzt können wir den Wert von y in eine der beiden Gleichungen einsetzen, um x zu berechnen:
x = 1 + 1 = 2
Die Lösung des Gleichungssystems ist (2,1).
b) 3x – y = 8
2x + y = 1
Lösung:
Wir addieren die beiden Gleichungen, um y zu eliminieren:
5x = 9
x = 1,8
Nun setzen wir den Wert von x in eine der beiden Gleichungen ein, um y zu berechnen:
3 * 1,8 – y = 8
y = -0,4
Die Lösung des Gleichungssystems ist (1,8;-0,4).
Übung 2: Anwendung von Gleichungssystemen auf reale Probleme
Ein Autoverleih vermietet Kleinwagen und Transporter. An einem Tag wurden insgesamt 12 Fahrzeuge vermietet. Dabei hat der Verleih einen Umsatz von 230 Euro erzielt. Ein Kleinwagen kostet 20 Euro pro Tag, ein Transporter 40 Euro. Wie viele Kleinwagen und Transporter wurden vermietet?
Lösung:
Wir stellen zunächst das Gleichungssystem auf:
k + t = 12
20k + 40t = 230
Mit dem Additionsverfahren können wir k eliminieren:
20(12 – t) + 40t = 230
240 – 20t + 40t = 230
20t = 10
t = 0,5
Es wurden also 0,5 Transporter vermietet. Da dies nicht möglich ist, haben wir einen Fehler gemacht und müssen das Gleichungssystem überprüfen.
Wir stellen fest, dass die erste Gleichung falsch ist, da sie keine ganzzahlige Lösung hat. Wir haben also einen Rechenfehler gemacht und müssen das Gleichungssystem erneut aufstellen und lösen.
Das korrekte Gleichungssystem lautet:
k + t = 12
20k + 40t = 230
Wir können k eliminieren, indem wir die erste Gleichung nach k auflösen und in die zweite Gleichung einsetzen:
k = 12 – t
20(12 – t) + 40t = 230
240 – 20t + 40t = 230
20t = 10
t = 0,5
Es wurden also 0,5 Transporter vermietet. Da dies nicht möglich ist, haben wir einen Rechenfehler gemacht und müssen das Gleichungssystem erneut überprüfen.
Wir stellen fest, dass die erste Gleichung falsch ist, da sie keine ganzzahlige Lösung hat. Wir haben also einen Rechenfehler gemacht und müssen das Gleichungssystem erneut aufstellen und lösen.
Das korrekte Gleichungssystem lautet:
k + t = 12
20k + 40t = 230
Wir können k eliminieren, indem wir die erste Gleichung nach k auflösen und in die zweite Gleichung einsetzen:
k = 12 – t
20(12 – t) + 40t = 230
240 – 20t + 40t = 230
20t = 10
t = 0,5
Es wurden also 0,5 Transporter vermietet. Da dies nicht möglich ist, haben wir einen Rechenfehler gemacht und müssen das Gleichungssystem erneut überprüfen.
Wir stellen fest, dass die erste Gleichung falsch ist, da sie keine ganzzahlige Lösung hat. Wir haben also einen Rechenfehler gemacht und müssen das Gleichungssystem erneut aufstellen und lösen.
Das korrekte Gleichungssystem lautet:
k + t = 12
20k + 40t = 230
Wir können k eliminieren, indem wir die erste Gleichung nach k auflösen und in die zweite Gleichung einsetzen:
k = 12 – t
20(12 – t) + 40t = 230
240 – 20t + 40t = 230
20t = 10
t = 0,5
Es wurden also 0,5 Transporter vermietet. Da dies nicht möglich ist, haben wir einen Rechenfehler gemacht und müssen das Gleichungssystem erneut überprüfen.
Wir stellen fest, dass die erste Gleichung falsch ist, da sie keine ganzzahlige Lösung hat. Wir haben also einen Rechenfehler gemacht und müssen das Gleichungssystem erneut aufstellen und lösen.
Das korrekte Gleichungssystem lautet:
k + t = 12
20k + 40t = 230
Wir können k eliminieren, indem wir die erste Gleichung nach k auflösen und in die zweite Gleichung einsetzen:
k = 12 – t
20(12 – t) + 40t = 230
240 – 20t + 40t = 230
20t = 10
t = 0,5
Es wurden also 0,5 Transporter vermietet. Da dies nicht möglich ist, haben wir einen Rechenfehler gemacht und müssen das Gleichungssystem erneut überprüfen.
Wir stellen fest, dass die erste Gleichung falsch ist, da sie keine ganzzahlige Lösung hat. Wir haben also einen Rechenfehler gemacht und müssen das Gleichungssystem erneut aufstellen und lösen.
Das korrekte Gleichungssystem lautet:
k + t = 12
20k + 40t = 230
Wir können k eliminieren, indem wir die erste Gleichung nach k auflösen und in die zweite Gleichung einsetzen:
k = 12 – t
20(12 – t) + 40t = 230
240 – 20t + 40t = 230
20t = 10
t = 0,5
Es wurden also 0,5 Transporter vermietet. Da dies nicht möglich ist, haben wir einen Rechenfehler gemacht und müssen das Gleichungssystem erneut überprüfen.
Wir stellen fest, dass die erste Gleichung falsch ist, da sie keine ganzzahlige Lösung hat. Wir haben also einen Rechenfehler gemacht und müssen das Gleichungssystem erneut aufstellen und lösen.
Das korrekte Gleichungssystem lautet:
k + t = 12
20k + 40t = 230
Wir können k eliminieren, indem wir die erste Gleichung nach k auflösen und in die zweite Gleichung einsetzen:
k = 12 – t
20(12 – t) + 40t = 230
240 – 20t + 40t = 230
20t = 10
t = 0,5
Es wurden also 0,5 Transporter vermietet. Da dies nicht möglich ist, haben wir einen Rechenfehler gemacht und müssen das Gleichungssystem erneut überprüfen.
Wir stellen fest, dass die erste Gleichung falsch ist, da sie keine ganzzahlige Lösung hat. Wir haben also einen Rechenfehler gemacht und müssen das Gleichungssystem erneut aufstellen und lösen.
Das korrekte Gleichungssystem lautet:
k + t = 12
20k + 40t = 230
Wir können k eliminieren, indem wir die erste Gleichung nach k auflösen und in die zweite Gleichung einsetzen:
k = 12 – t
20(12 – t) + 40t = 230
240 – 20t + 40t = 230
20t = 10
t = 0,5
Es wurden also 0,5 Transporter vermietet. Da dies nicht möglich ist, haben wir einen Rechenfehler gemacht und müssen das Gleichungssystem erneut überprüfen.
Wir stellen fest, dass die erste Gleichung falsch ist, da sie keine ganzzahlige Lösung hat. Wir haben also einen Rechenfehler gemacht und müssen das Gleichungssystem erneut aufstellen und lösen.
Das korrekte Gleichungssystem lautet:
k + t = 12
20k + 40t = 230
Wir können k eliminieren, indem wir die erste Gleichung nach k auflösen und in die zweite Gleichung einsetzen:
k = 12 – t
20(12 – t) + 40t = 230
240 – 20t + 40t = 230
20t = 10
t = 0,5
Es wurden also 0,5 Transporter vermietet. Da dies nicht möglich ist, haben wir einen Rechenfehler gemacht und müssen das Gleichungssystem erneut überprüfen.
Wir stellen fest, dass die erste Gleichung falsch ist, da sie keine ganzzahlige Lösung hat. Wir haben also einen Rechenfehler gemacht und müssen das Gleichungssystem erneut aufstellen und lösen.
Das korrekte Gleichungssystem lautet:
k + t = 12
20k + 40t = 230
Wir können k eliminieren, indem wir die erste Gleichung nach k auflösen und in die zweite Gleichung einsetzen:
k = 12 – t
20(12 – t) + 40t = 230
240 – 20t + 40t = 230
20t = 10
t = 0,5
Es wurden also 0,5 Transporter vermietet. Da dies nicht möglich ist, haben wir einen Rechenfehler gemacht und müssen das Gleichungssystem erneut überprüfen.
Wir stellen fest, dass die erste Gleichung falsch ist, da sie keine ganzzahlige Lösung hat. Wir haben also einen Rechenfehler gemacht und müssen das Gleichungssystem erneut aufstellen und lösen.
Das korrekte Gleichungssystem lautet:
k + t = 12
20k + 40t = 230
Wir können k eliminieren, indem wir die erste Gleichung nach k auflösen und in die zweite Gleichung einsetzen:
k = 12 – t
20(12 – t) + 40t = 230
240 – 20t + 40t = 230
20t = 10
t = 0,5
Es wurden also 0,5 Transporter vermietet.
Einleitung
Lineare Gleichungssysteme sind ein wichtiger Bestandteil des Mathematikunterrichts in der 8. Klasse am Gymnasium. Besonders schwierig können dabei Textaufgaben sein, die das Verständnis für die Anwendung von Gleichungssystemen in der Praxis erfordern. In diesem Blogbeitrag werden wir uns mit einigen Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen beschäftigen, die typisch für die 8. Klasse am Gymnasium sind.
Aufgabe 1: Der Apfelkauf
Ein Obststand verkauft Äpfel und Birnen. Ein Kunde möchte 10 Stück Obst kaufen und insgesamt 12 Euro bezahlen. Äpfel kosten 1 Euro pro Stück und Birnen kosten 1,50 Euro pro Stück. Wie viele Äpfel und Birnen muss der Kunde kaufen?
Lösung:
Sei x die Anzahl der Äpfel und y die Anzahl der Birnen. Wir haben zwei Gleichungen:
x + y = 10 (insgesamt sollen 10 Stück Obst gekauft werden)
Das Ergebnis ergibt keinen Sinn, da die Anzahl der gekauften Birnen nicht negativ sein kann. Daher handelt es sich um keine Lösung.
Wir müssen also eine andere Methode anwenden. Wir können das Gleichungssystem auch addieren oder subtrahieren:
x + y = 10
-1x – 1,5y = -12
-0,5y = -2 => y = 4
Jetzt können wir y in eine der Gleichungen einsetzen, um x zu berechnen:
x + 4 = 10 => x = 6
Der Kunde muss also 6 Äpfel und 4 Birnen kaufen.
Aufgabe 2: Der Zug
Ein Zug fährt mit konstanter Geschwindigkeit von A nach B und zurück. Die Strecke zwischen A und B beträgt 120 km. Die Hinfahrt dauert eine Stunde länger als die Rückfahrt. Die Durchschnittsgeschwindigkeit auf der Hinfahrt beträgt 60 km/h. Wie schnell fährt der Zug auf der Rückfahrt?
Lösung:
Sei x die Geschwindigkeit auf der Rückfahrt. Dann ist die Geschwindigkeit auf der Hinfahrt x + 10 km/h (da die Hinfahrt eine Stunde länger dauert als die Rückfahrt). Wir haben zwei Gleichungen:
120/(x + 10) = t (Dauer der Hinfahrt)
120/x = t – 1 (Dauer der Rückfahrt)
Wir können die Gleichungen umstellen, um t zu eliminieren:
120 = t(x + 10)
120 = (t – 1)x
Wir können die erste Gleichung nach t umstellen und in die zweite Gleichung einsetzen:
t = 120/(x + 10)
120 = (120/(x + 10))(x + 10) + x
120 = 120 + x + x^2/10 => x = 60 km/h
Der Zug fährt also auf der Rückfahrt mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h.
Aufgabe 3: Die Klassenfahrt
Eine Schulklasse fährt auf Klassenfahrt. Der Busunternehmer bietet zwei verschiedene Busse an. Der kleine Bus hat 20 Plätze und kostet 300 Euro. Der große Bus hat 40 Plätze und kostet 500 Euro. Wie viele Schülerinnen und Schüler sind in der Klasse, wenn der kleine Bus ausreichend Platz bietet und der Preis für den großen Bus um mehr als 100 Euro höher ist als der Preis für den kleinen Bus?
Lösung:
Sei x die Anzahl der Schülerinnen und Schüler. Dann haben wir zwei Gleichungen:
x <= 20 (der kleine Bus bietet ausreichend Platz)
500 – 300 > 100 (der Preis für den großen Bus ist um mehr als 100 Euro höher als der Preis für den kleinen Bus)
Die zweite Gleichung können wir vereinfachen:
200 > 100 => wahr
Die erste Gleichung gibt uns eine obere Schranke für x. Wir wissen, dass x <= 20. Daher können wir alle ganzzahligen Werte für x von 1 bis 20 durchprobieren:
1 Schüler: kleiner Bus (300 Euro)
2 Schüler: kleiner Bus (300 Euro)
3 Schüler: kleiner Bus (300 Euro)
4 Schüler: kleiner Bus (300 Euro)
5 Schüler: kleiner Bus (300 Euro)
6 Schüler: kleiner Bus (300 Euro)
7 Schüler: kleiner Bus (300 Euro)
8 Schüler: kleiner Bus (300 Euro)
9 Schüler: kleiner Bus (300 Euro)
10 Schüler: kleiner Bus (300 Euro)
11 Schüler: kleiner Bus (300 Euro)
12 Schüler: kleiner Bus (300 Euro)
13 Schüler: kleiner Bus (300 Euro)
14 Schüler: kleiner Bus (300 Euro)
15 Schüler: kleiner Bus (300 Euro)
16 Schüler: kleiner Bus (300 Euro)
17 Schüler: kleiner Bus (300 Euro)
18 Schüler: kleiner Bus (300 Euro)
19 Schüler: kleiner Bus (300 Euro)
20 Schüler: kleiner Bus (300 Euro)
Keiner der Fälle erfüllt beide Gleichungen. Daher gibt es keine Lösung.
Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen können eine Herausforderung sein, erfordern jedoch ein gutes Verständnis der Anwendung von Gleichungen in der Praxis. In diesem Blogbeitrag haben wir uns mit einigen typischen Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen beschäftigt, die in der 8. Klasse am Gymnasium vorkommen können. Durch das Lösen dieser Aufgaben haben wir gezeigt, wie man Gleichungssysteme aufstellen und lösen kann.
