Zunächst bringen wir beide Gleichungen in die Form y = mx + b:
2x + 3y = 7 | -2x
3y = -2x + 7 | /3
y = (-2/3)x + 7/3
x – 4y = -2 | +4y
x = 4y – 2
Setzen wir nun die erste Gleichung in die zweite ein:
4y – 2 = (-2/3)x + 7/3
Bringen wir die Gleichung in die Form y = mx + b:
4y = (-2/3)x + 13/3 | /4
y = (-1/3)x + 13/12
Setzen wir nun den Ausdruck für y in die erste Gleichung ein:
2x + 3((-1/3)x + 13/12) = 7
Rechnen wir die Gleichung aus:
2x – x + 13/4 = 7
x = 5
Setzen wir nun den Wert für x in die Gleichung für y ein:
y = (-1/3)5 + 13/12 = 1/4
Damit lautet die Lösung des Gleichungssystems:
x = 5
y = 1/4
Übung 2: Anwendung von Gleichungssystemen
Ein Autohersteller bietet ein Modell mit einem Basispreis von 20.000 € an. Für jede zusätzliche Sonderausstattung muss der Käufer einen Aufpreis zahlen. Der Aufpreis für ein Navigationssystem beträgt 1.000 €, der Aufpreis für Ledersitze beträgt 2.000 € und der Aufpreis für ein Schiebedach beträgt 500 €. Ein Käufer entscheidet sich für das Navigationssystem und Ledersitze, aber nicht für das Schiebedach. Der Gesamtpreis beträgt 25.000 €. Wie viel kostet jede Sonderausstattung?
Wir können das Problem durch ein lineares Gleichungssystem lösen. Seien x, y und z die Aufpreise für Navigationssystem, Ledersitze und Schiebedach. Dann haben wir folgendes Gleichungssystem:
x + y + z = 5.000
x + y = 4.000
x + z = 2.000
Wir können das Gleichungssystem lösen, indem wir die zweite von der ersten Gleichung abziehen und die dritte von der ersten Gleichung abziehen:
z = 3.000 €
y = 2.000 €
x = 1.000 €
Damit kostet das Navigationssystem 1.000 €, die Ledersitze 2.000 € und das Schiebedach 500 €.
Erklärungen zu Gleichungssystemen Klasse 9
In der 9. Klasse lernen Schülerinnen und Schüler, lineare Gleichungssysteme zu lösen. Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Ziel ist es, die Werte der Unbekannten zu finden, die alle Gleichungen erfüllen. Es gibt verschiedene Methoden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen, wie zum Beispiel das Einsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren.
Gleichungssysteme kommen in vielen Bereichen der Mathematik und der Naturwissenschaften vor. Zum Beispiel können Gleichungssysteme genutzt werden, um die Bewegung von Körpern zu beschreiben, die Lösungen von chemischen Reaktionen zu berechnen oder die Verteilung von Ressourcen in einem Wirtschaftssystem zu optimieren.
Ein weiteres Anwendungsgebiet von Gleichungssystemen ist die Optimierung von Prozessen. Zum Beispiel kann ein Unternehmen mithilfe von Gleichungssystemen die Produktion so optimieren, dass die Kosten minimiert werden, während die Qualität der Produkte auf einem hohen Niveau bleibt.
In Klasse 9 werden Schülerinnen und Schüler mit dem Thema Gleichungssysteme konfrontiert. Dabei geht es vor allem um das Lösen von Gleichungssystemen mit Hilfe von verschiedenen Methoden, wie zum Beispiel dem Gleichsetzungsverfahren oder dem Einsetzungsverfahren.
Textaufgaben – eine besondere Herausforderung
Eine besondere Herausforderung stellen dabei Textaufgaben dar, die oft komplexer sind als reine Rechenaufgaben. Hier müssen Schülerinnen und Schüler das Problem zunächst verstehen und in eine mathematische Formel umwandeln, bevor sie es lösen können.
Ein Beispiel: „Ein Autohersteller produziert zwei Modelle: Das Modell A kostet 15.000 Euro, das Modell B kostet 20.000 Euro. Insgesamt wurden 50 Autos produziert, der Gesamtwert beträgt 900.000 Euro. Wie viele Autos wurden von jedem Modell produziert?“
Um diese Aufgabe zu lösen, muss man zunächst zwei Gleichungen aufstellen:
A + B = 50 (es wurden insgesamt 50 Autos produziert) 15.000A + 20.000B = 900.000 (der Gesamtwert beträgt 900.000 Euro)
Diese beiden Gleichungen können nun mit einer der oben genannten Methoden gelöst werden.
Übung macht den Meister
Um Textaufgaben zu meistern, ist vor allem Übung wichtig. Schülerinnen und Schüler sollten sich regelmäßig mit verschiedenen Aufgaben auseinandersetzen und lernen, wie man das Problem am besten angeht.
Es gibt auch zahlreiche Online-Plattformen, auf denen Übungen und Aufgaben zu Gleichungssystemen angeboten werden. Hier können Schülerinnen und Schüler ihr Wissen vertiefen und sich gezielt auf Klassenarbeiten und Tests vorbereiten.
Textaufgaben zu Gleichungssystemen stellen eine besondere Herausforderung dar, die aber mit Übung und Geduld gemeistert werden kann. Durch das Lösen von verschiedenen Aufgaben und das Vertiefen des Wissens kann man sich optimal auf Klassenarbeiten und Tests vorbereiten.
Quelle: Eigene Erfahrung und Wissen aus dem Mathematikunterricht in Klasse 9.
